Geometría

La Geometría trata sobre las formas y sus propiedades.
Los dos temas más comunes son:

	Geometría Plana (sobre formas planas como líneas rectas, círculos y triángulos... formas que se pueden dibujar en un trozo de papel)
	Geometría Sólida (sobre objetos tridimensionales como cubos y pirámides).

Si te gusta jugar con objetos, o te gusta dibujar, ¡la geometría es para ti!

Pista: Intenta dibujar algunas de las formas y ángulos en el momento en que los aprendes... eso ayuda.

¡Sólidos!

La Geometría Sólida es la geometría del espacio tridimensional, el tipo de espacio donde vivimos...

	Poliedros: (deben tener caras planas)	Sólidos Platónicos Prismas Pirámides
	No Poliedros: (si alguna superficie no es plana)	Esfera Toro Cilindro Cono

Geometría Plana

La Geometría Plana trata las formas en una superficie plana (como una hoja de papel sin fin).
Aquí hay una lista de nuestras páginas sobre geometría plana:

General

Plano

Un plano es una superficie lisa sin grosor.

Nuestro mundo tiene tres dimensiones, pero un plano sólo tiene dos dimensiones. Ejemplos: longitud y altura, o x e y Y así sin final.

Ejemplos

¡Es difícil dar ejemplos reales!

Cuando dibujas algo en un trozo plano de papel estás dibujando en un plano... ... ¡aunque el papel no es un plano él mismo, porque tiene un poco de grosor! Y tampoco se extiende indefinidamente. ¡Así que la idea correcta es la parte superior de un trozo perfectamente liso de papel sin fin!

También las superficies de una mesa, el suelo y una pizarra son como un plano.

Imagina

Imagina que vivieras en un mundo bidimensional. Podrías viajar, visitar a los amigos, pero no habría nada en el mundo que tuviera altura.
Podrías medir distancias y ángulos.
Podrías viajar rápido o lento. Avanzar, retroceder o ir de lado. Podrías moverte en línea recta, en círculos, o cualquier otra cosa que no sea subir o bajar.
¿Cómo sería vivir en un plano?

Símbolos en geometría

Símbolos que se usan con frecuencia en geometría

Los símbolos nos ayudan a ahorrar tiempo y espacio cuando escribimos. Aquí tienes los símbolos geométricos más comunes:

Símbolo	Significado	Ejemplo	En palabras
	Triángulo	ABC tiene 3 lados iguales	El triángulo ABC tiene tres lados iguales
	Ángulo	ABC mide 45°	El ángulo formado por ABC mide 45 grados.
	Perpendicular	ABCD	La línea AB es perpendicular a la línea CD
	Paralela	EFGH	La línea EF is paralela a la línea GH
	Grados	360° es un círculo completo
	Ángulo recto (90°)	mide 90°	Un ángulo recto mide 90 grados
	Segmento de línea "AB"	AB	La línea entre A y B
	Línea "AB"		La línea infinita que pasa por A y B
	Rayo "AB"		La línea que empieza en A, pasa por B y continúa
	Congruente (mismo tamaño y forma)	ABC DEF	El triángulo ABC es congruente con el triángulo DEF
	Similar (misma forma, distinto tamaño)	DEFMNO	El triángulo DEF es similar al triángulo MNO
	Por tanto	a=b b=a	a es igual que b, por tanto b es igual que a

Nombrar ángulos

En los ángulos la letra del medio dice dónde está el ángulo. Por ejemplo cuando veas "ABC mide 45°", el punto "B" es donde está el ángulo.

Ejemplo breve

	Así que si alguien escribe:	En ABC, BAC es
	Ya sabes que quiere decir:	"En el triángulo ABC, el ángulo BAC es un ángulo recto"

Áreas de formas planas

 

	Triángulo Área = ½b×h b = base h = altura vertical			Cuadrado Área = a2 a = longitud del lado
	Rectángulo Área = b×h b = anchura h = altura			Paralelogramo Área = b×h b = anchura h = altura
	Trapecio Área = ½(a+b)h h = altura vertical			Círculo Área = πr2 Circunferencia=2πr r = radio
	Elipse Área = πab			Sector Área = ½r2θ r = radio θ = ángulo en radianes

Congruencia

Si se puede convertir una forma en otra usando giros, volteos y deslizamientos, las dos formas son congruentes:

Rotación		¡Gira!
Reflexión		¡Voltea!
Traslación		¡Desliza!

Después de estas transformaciones (girar, voltear, deslizar) la forma sigue teniendo el mismo tamaño,área, ángulos y longitudes de líneas.

Ejemplos

Todas estas formas son congruentes:

Girada	Reflejada y desplazada	Reflejada y girada

¿Congruente o similar?

Las dos figuras deben tener el mismo tamaño para ser congruentes. (Si has tenido que reescalar una figura para llegar a la otra, entonces son similares)

Si...		entonces son...
... sólo giras, reflejas y/o trasladas		congruentes
... necesitas hacer una homotecia		similares

¿Congruentes? ¿Por qué esta palabra tan rara significa "igual"? Probablemente porque dos figuras sólo serían "iguales" si una cubriera exactamente la otra. En cualquier caso, la palabra viene del latín congruere, que se podría traducir como "estar de acuerdo". Así que las figuras "están de acuerdo".

eorema de Pitágoras

Hace años, un hombre llamado Pitágoras descubrió un hecho asombroso sobre triángulos: Si el triángulo tiene un ángulo recto (90°)... ... y pones un cuadrado sobre cada uno de sus lados, entonces... ... ¡el cuadrado más grande tiene exactamente la misma área que los otros dos cuadrados juntos!

El lado más largo del triángulo se llama "hipotenusa", así que la definición formal es:

En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (llamamos "triángulo rectángulo" a un triángulo con un ángulo recto)

Entonces, el cuadrado de a (a²) más el cuadrado de b (b²) es igual al cuadrado de c (c²): a2 + b2 = c2

¿Seguro... ?

Veamos si funciona con un ejemplo. Un triángulo de lados "3,4,5" tiene un ángulo recto, así que la fórmula debería funcionar.

Veamos si las áreas son la misma: 32 + 42 = 52 Calculando obtenemos: 9 + 16 = 25 ¡sí, funciona!

¿Por qué es útil esto?

Si sabemos las longitudes de dos lados de un triángulo con un ángulo recto, el Teorema de Pitágoras nos ayuda a encontrar la longitud del tercer lado. (¡Pero recuerda que sólo funciona en triángulos rectángulos!)

¿Cómo lo uso?

Escríbelo como una ecuación:

a2 + b2 = c2

Ahora puedes usar álgebra para encontrar el valor que falta, como en estos ejemplos:

a2 + b2 = c2 52 + 122 = c2 25 + 144 = 169 c2 = 169 c = √169 c = 13

a2 + b2 = c2 92 + b2 = 152 81 + b2 = 225 Resta 81 a ambos lados b2 = 144 b = √144 b = 12

¡Y Puedes Demostrarlo Tú Mismo!

Consigue papel y tijeras, y usa la siguiente animación como guía:
	Dibuja un triángulo rectángulo en el papel, dejando mucho espacio alrededor. Dibuja un cuadrado sobre la hipotenusa (el lado más largo) Dibuja un cuadrado del mismo tamaño en el otro lado de la hipotenusa Dibuja líneas como en la animación, así: Recorta los trozos Colócalos de manera que puedas demostrar que el cuadrado grande tiene la misma área que los cuadrados en los otros lados juntos

Otra Demostración, Muy Simple

Aquí tienes una de las demostraciones más antiguas de que el cuadrado grande tiene la misma área que los otros cuadrados juntos.
	Mira la animación, y presta atención cuando se empiecen a mover los triángulos. Quizás quieras verla varias veces para entender bien lo que pasa. El triángulo violeta es el importante.

Ternas pitagóricas

Son simplemente números enteros que cumplen la regla:

a² + b² = c²

(esta es la ecuación del teorema de Pitágoras)

Algunos ejemplos:

Triángulo 3,4,5	Triángulo 5,12,13	Triángulo 9,40,41
32 + 42 = 52	52 + 122 = 132	92 + 402 = 412

Cuadriláteros

Cuadrilátero significa "cuatro lados" (cuad significa cuatro, látero significa lado). Las figuras de cuatro lados se llaman cuadriláteros. Pero los lados tienen que ser rectos, y la figura tiene que ser bidimensional.

Prueba tú mismo

Ver más grande

Tipos de cuadriláteros

Hay algunos tipos especiales de cuadriláteros: el rectángulo el rombo el cuadrado (todos estos son paralelogramos), y también hay: el trapezoide el deltoide Si no es ninguna de estos es un cuadrilátero irregular. Aquí tienes los detalles:

El rectángulo

		significa "ángulo recto"
	y	indican lados iguales

Un rectángulo es una figura de cuatro lados cuyos ángulos son todos rectos (90°).
Además los lados opuestos son paralelos y de la misma longitud.

El rombo

Un rombo es una figura de cuatro lados cuyos lados son todos iguales.
Además los lados opuestos son paralelos y los ángulos opuestos son iguales.
Otra cosa interesante es que las diagonales (las líneas de puntos en la segunda figura) se cortan en ángulos rectos, es decir, son perpendiculares.

El cuadrado

		significa "ángulo recto"
		indica lados iguales

Un cuadrado es una figura de cuatro lados iguales y cuatro ángulos rectos (90°)
Además los lados opuestos son paralelos.
Un cuadrado también es un rectángulo (ángulos de 90°) y un rombo (lados iguales).

El paralelogramo

Los lados opuestos son paralelos y de igual longitud, y los ángulos opuestos son iguales (los ángulos "a" son iguales, y los ángulos "b" son iguales)

Triángulos rectángulos

Un triángulo rectángulo es, seguro que lo has adivinado, un triángulo que tiene un ángulo recto.

El cuadradito de la esquina nos indica que el triángulo es rectángulo.

Hay dos tipos de triángulo rectángulo:

• Triángulos rectángulos isósceles
• Triángulos rectángulos escalenos

	Triángulo rectángulo isósceles Un ángulo recto Otros dos ángulos iguales de 45° Dos lados iguales
	Triángulo rectángulo escaleno Un ángulo recto Otros dos ángulos distintos No hay lados iguales

 

Figuras planas regulares - Polígonos

Pon el cursor sobre las figuras para descubrir sus propiedades.
Triángulo	Cuadrado
Pentágono	Hexágono
Heptágono	Octágono
Nonágono	Decágono
Endecágono	Dodecágono
Estas figuras se llaman polígonos regulares. Un polígono es una figura con varios lados, todos ellos rectos. Para que sea regular los lados y los ángulos tienen que ser iguales.

Similar

En geometría, dos figuras son similares si la única diferencia es el tamaño (y a lo mejor girar o voltear una de ellas).

El tamaño es la clave

Si una se puede convertir en la otra usando una homotecia (también llamada dilatación, contracción, compresión, alargamiento o reescala), entonces las figuras son similares:

	¡Estas figuras son similares!

También puede haber giros, volteos o desplazamientos

A veces es difícil ver si dos figuras son similares, porque a lo mejor tienes que girar, voltear o desplazar una de ellas además de la homotecia.

Rotación		¡Gira!
Reflexión		¡Voltea!
Traslación		¡Desliza!

Ejemplos

Todas estas figuras son similares:

Homotecia	Homotecia y reflexión	Homotecia y rotación

¿Para qué sirve?

Cuando dos figuras son similares:

• los ángulos correspondientes son iguales, y
• las longitudes son proporcionales.

Esto ayuda mucho cuando resolvemos puzzles geométricos, como en este ejemplo:

	Ejemplo: ¿cuánto mide ese lado?
	Fíjate en que el triángulo rojo tiene los mismos ángulos que el triángulo grande... ... los dos tienen un ángulo recto, y comparten el ángulo de la izquierda
	De hecho podrías voltear el triángulo rojo, girarlo un poco, cambiarlo de tamaño, y coincidiría exactamente con el triángulo grande. Así que son triángulos similares. Entonces las longitudes de los lados son proporcionales, y podemos calcular: ? = 80 × (130/127) = 81.9 (¡Nada complicado, sólo sentido común!)

¿Congruentes o similares?

Si no necesitas cambiar el tamaño para hacer que dos figuras coincidan, entonces son congruentes. Así que si las figuras coinciden:

Después de...		Entonces son...
... sólo girar, reflejar y/o trasladar		Congruentes
... también reescalar		Similares

Triángulos

	Un triángulo tiene tres lados y tres ángulos
	Los tres ángulos siempre suman 180°

Equilátero, isósceles y escaleno

Hay tres nombres especiales de triángulos que indican cuántos lados (o ángulos) son iguales.

Puede haber 3, 2 o ningún lados/ángulos iguales:

	Triángulo equilátero Tres lados iguales Tres ángulos iguales, todos 60°
	Triángulo isósceles Dos lados iguales Dos ángulos iguales
	Triángulo escaleno No hay lados iguales No hay ángulos iguales

¿Qué tipos de ángulos?

Los triángulos también tienen nombres que te dicen los tipos de ángulos

	Triángulo acutángulo Todos los ángulos miden menos de 90°
	Triángulo rectángulo Tiene un ángulo recto (90°)
	Triángulo obtusángulo Tiene un ángulo mayor que 90°

Combinar los nombres

A veces los triángulos tienen dos nombres, por ejemplo:

Triángulo isósceles rectángulo Tiene un ángulo recto (90°), y los otros dos ángulos iguales ¿Adivinas cuánto miden?

Área

Área = ½bh

La fórmula (1/2)bh vale para todos los triángulos. Asegúrate de que la "h" la mides perpendicularmente a la "b".

Imagina que "doblas" el triángulo (volteándolo a lo largo de uno de los lados de arriba) para tener una figura de cuatro lados (que será en realidad un "paralelogramo"), entonces el área sería bh. Pero eso son dos triángulos, así que uno solo es (1/2)bh.

Transversales

una transversal es una línea que cruza por lo menos otras dos líneas.

La línea roja es transversal en todos estos ejemplos:

Usando Instrumentos de Dibujo (Regla, Triángulo, Compás)

Usando el Transportador Usando el Triángulo de Dibujo y la Regla Usando Regla y Compás

Transformaciones y Simetría Índice de Transformaciones Índice de Simetría Artista de Simetría Artista de Teselación