Geometría
La Geometría trata sobre las
formas y sus propiedades.
Los dos temas más comunes son:
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Geometría Plana (sobre formas planas como líneas rectas, círculos y triángulos... formas que se pueden dibujar en un trozo de papel) |
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Geometría Sólida (sobre objetos tridimensionales como cubos y pirámides). |
Si te gusta jugar con objetos, o te gusta dibujar, ¡la geometría es para ti!
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Pista: Intenta dibujar algunas de las formas y ángulos en el momento en que los aprendes... eso ayuda. |
¡Sólidos!
La
Geometría Sólida es la geometría del espacio tridimensional, el tipo de espacio donde vivimos...
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Poliedros:
(deben tener caras planas) |
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No Poliedros:
(si alguna superficie no es plana) |
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Geometría Plana
La Geometría Plana trata las formas en una superficie plana (como una hoja de papel sin fin).
Aquí hay una lista de nuestras páginas sobre geometría plana:
General
Plano
Un plano es una superficie lisa sin grosor.
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Nuestro mundo tiene tres dimensiones, pero un plano sólo tiene dos dimensiones.
Ejemplos:
- longitud y altura, o
- x e y
Y así sin final.
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Ejemplos
¡Es difícil dar ejemplos reales!
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Cuando dibujas algo en un trozo plano de papel estás dibujando en un plano...
... ¡aunque el papel no es un plano él mismo, porque tiene un poco de grosor! Y tampoco se extiende indefinidamente.
¡Así que la idea correcta es
la parte superior de un trozo perfectamente liso de papel sin fin!
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También las superficies de una mesa, el suelo y una pizarra son
como un plano.
Imagina
Imagina que vivieras en un mundo bidimensional. Podrías viajar,
visitar a los amigos, pero no habría nada en el mundo que tuviera
altura.
Podrías medir distancias y ángulos.
Podrías viajar rápido o lento. Avanzar, retroceder o ir de
lado. Podrías moverte en línea recta, en círculos, o cualquier otra cosa
que no sea subir o bajar.
¿Cómo sería vivir en un plano?
Símbolos en geometría
Símbolos que se usan con frecuencia en geometría
Los símbolos nos ayudan a ahorrar tiempo y espacio cuando escribimos. Aquí tienes los símbolos geométricos más comunes:
| Símbolo |
Significado |
Ejemplo |
En palabras |
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Triángulo |
 ABC tiene 3 lados iguales |
El triángulo ABC tiene tres lados iguales |
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Ángulo |
 ABC mide 45° |
El ángulo formado por ABC mide 45 grados. |
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Perpendicular |
AB CD |
La línea AB es perpendicular a la línea CD |
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Paralela |
EF GH |
La línea EF is paralela a la línea GH |
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Grados |
360° es un círculo completo |
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Ángulo recto (90°) |
 mide 90° |
Un ángulo recto mide 90 grados |
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Segmento de línea "AB" |
AB |
La línea entre A y B |
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Línea "AB" |
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La línea infinita que pasa por A y B |
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Rayo "AB" |
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La línea que empieza en A, pasa por B y continúa |
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Congruente (mismo tamaño y forma) |
ABC  DEF
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El triángulo ABC es congruente con el triángulo DEF |
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Similar (misma forma, distinto tamaño) |
DEF MNO |
El triángulo DEF es similar al triángulo MNO |
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Por tanto |
a=b  b=a |
a es igual que b, por tanto b es igual que a |
Nombrar ángulos
En los ángulos la letra del medio dice dónde está el ángulo. Por ejemplo cuando veas "
ABC mide 45°", el punto "B" es donde está el ángulo.
Ejemplo breve
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Así que si alguien escribe: |
En ABC, BAC es |
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Ya sabes que quiere decir: |
"En el triángulo ABC, el ángulo BAC es un ángulo recto" |
Áreas de formas planas
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Triángulo
Área = ½b×h
b = base
h = altura vertical |
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Cuadrado
Área = a2
a = longitud del lado |
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Rectángulo
Área = b×h
b = anchura
h = altura |
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Paralelogramo
Área = b×h
b = anchura
h = altura |
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Trapecio
Área = ½(a+b)h
h = altura vertical |
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Círculo
Área = πr2
Circunferencia=2πr
r = radio |
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Elipse
Área = πab
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Sector
Área = ½r2θ
r = radio
θ = ángulo en radianes |
Congruencia
| Si se puede convertir una forma en otra usando giros, volteos y deslizamientos, las dos formas son congruentes: |
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Después de estas transformaciones (girar, voltear, deslizar) la forma sigue teniendo el mismo tamaño,área, ángulos y longitudes de líneas. |
Ejemplos
Todas estas formas son congruentes:
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| Girada |
Reflejada y desplazada |
Reflejada y girada |
¿Congruente o similar?
Las dos figuras deben tener
el mismo tamaño para ser congruentes. (Si has tenido que reescalar una figura para llegar a la otra, entonces son
similares)
| Si... |
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entonces son... |
| ... sólo giras, reflejas y/o trasladas |
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congruentes
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| ... necesitas hacer una homotecia |
|
similares
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¿Congruentes? ¿Por qué esta palabra tan rara
significa "igual"? Probablemente porque dos figuras sólo serían
"iguales" si una cubriera exactamente la otra. En cualquier caso, la
palabra viene del latín congruere, que se podría traducir como "estar de acuerdo". Así que las figuras "están de acuerdo". |
eorema de Pitágoras
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Hace años, un hombre llamado Pitágoras descubrió un hecho asombroso sobre triángulos:
Si el triángulo tiene un ángulo recto (90°)...
... y pones un cuadrado sobre cada uno de sus lados, entonces...
... ¡el cuadrado más grande tiene exactamente la misma área que los otros dos cuadrados juntos!
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El lado más largo del triángulo se llama "hipotenusa", así que la definición formal es:
En un triángulo rectángulo el cuadrado de la
hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados
(llamamos "triángulo rectángulo" a un triángulo con un ángulo recto)
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Entonces, el cuadrado de a (a²) más el cuadrado de b (b²) es igual al cuadrado de c (c²):
a2 + b2 = c2
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¿Seguro... ?
Veamos si funciona con un ejemplo. Un triángulo de lados "3,4,5" tiene un ángulo recto, así que la fórmula debería funcionar.
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Veamos si las áreas son la misma:
32 + 42 = 52
Calculando obtenemos:
9 + 16 = 25
¡sí, funciona! |
¿Por qué es útil esto?
Si sabemos las longitudes de dos lados de un triángulo con un ángulo recto, el Teorema de Pitágoras nos ayuda a encontrar la longitud del tercer lado. (¡Pero recuerda que sólo funciona en triángulos rectángulos!)
¿Cómo lo uso?
Escríbelo como una ecuación:
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a2 + b2 = c2 |
Ahora puedes usar
álgebra para encontrar el valor que falta, como en estos ejemplos:
a2 + b2 = c2
52 + 122 = c2
25 + 144 = 169
c2 = 169
c = √169
c = 13
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a2 + b2 = c2
92 + b2 = 152
81 + b2 = 225
Resta 81 a ambos lados
b2 = 144
b = √144
b = 12
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¡Y Puedes Demostrarlo Tú Mismo!
| Consigue papel y tijeras, y usa la siguiente animación como guía:
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-
Dibuja un triángulo rectángulo en el papel, dejando mucho espacio alrededor.
- Dibuja un cuadrado sobre la hipotenusa (el lado más largo)
- Dibuja un cuadrado del mismo tamaño en el otro lado de la hipotenusa
- Dibuja líneas como en la animación, así:
 - Recorta los trozos
- Colócalos de manera que puedas demostrar que el cuadrado grande tiene la misma área que los cuadrados en los otros lados juntos
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Otra Demostración, Muy Simple
| Aquí tienes una de las demostraciones más antiguas de que el cuadrado grande tiene la misma área que los otros cuadrados juntos. |
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Mira la animación, y presta atención cuando se empiecen a mover los triángulos.
Quizás quieras verla varias veces para entender bien lo que pasa.
El triángulo violeta es el importante.
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Ternas pitagóricas
a2 + b2 = c2
Algunos ejemplos:
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| Triángulo 3,4,5 |
Triángulo 5,12,13 |
Triángulo 9,40,41 |
| 32 + 42 = 52 |
52 + 122 = 132 |
92 + 402 = 412 |
Cuadriláteros
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Cuadrilátero significa "cuatro lados"
(cuad significa cuatro, látero significa lado).
Las figuras de cuatro lados se llaman cuadriláteros.
Pero los lados tienen que ser rectos, y la figura tiene que ser bidimensional.
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Prueba tú mismo
Tipos de cuadriláteros
Hay algunos tipos especiales de cuadriláteros:
- el rectángulo
- el rombo
- el cuadrado
(todos estos son paralelogramos), y también hay:
- el trapezoide
- el deltoide
Si no es ninguna de estos es un cuadrilátero irregular.
Aquí tienes los detalles:
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El rectángulo
Un
rectángulo es una figura de cuatro lados cuyos ángulos son todos
rectos (90°).
Además los
lados opuestos son
paralelos y de la misma longitud.
El rombo
Un
rombo es una figura de cuatro lados cuyos lados son todos iguales.
Además los lados opuestos son paralelos
y los ángulos opuestos son iguales.
Otra cosa interesante es que las diagonales (las líneas de
puntos en la segunda figura) se cortan en ángulos rectos, es decir, son
perpendiculares.
El cuadrado
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significa "ángulo recto" |
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indica lados iguales |
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Un cuadrado es una figura de cuatro lados iguales y cuatro ángulos rectos (90°)
Además los lados opuestos son paralelos.
Un cuadrado también es un
rectángulo (ángulos de 90°) y un
rombo (lados iguales).
El paralelogramo
Los lados opuestos son paralelos y de igual longitud, y los
ángulos opuestos son iguales (los ángulos "a" son iguales, y los ángulos
"b" son iguales)
Triángulos rectángulos
Un triángulo rectángulo es, seguro que lo has adivinado, un triángulo que tiene un
ángulo recto.
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El cuadradito de la esquina nos indica que el triángulo es rectángulo. |
Hay dos tipos de triángulo rectángulo:
- Triángulos rectángulos isósceles
- Triángulos rectángulos escalenos
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Triángulo rectángulo isósceles
Un ángulo recto
Otros dos ángulos iguales de 45°
Dos lados iguales
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Triángulo rectángulo escaleno
Un ángulo recto
Otros dos ángulos distintos
No hay lados iguales
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Figuras planas regulares - Polígonos
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Pon el cursor sobre las figuras para descubrir sus propiedades. |
Triángulo |
Cuadrado |
Pentágono |
Hexágono |
Heptágono |
Octágono |
Nonágono |
Decágono |
Endecágono |
Dodecágono |
Estas figuras se llaman polígonos regulares. Un polígono es una figura con varios lados, todos ellos rectos.
Para que sea regular los lados y los ángulos tienen que ser iguales. |
Similar
En geometría, dos figuras son
similares si la única diferencia es el tamaño (y a lo mejor girar o voltear una de ellas).
El tamaño es la clave
Si una se puede convertir en la otra usando una
homotecia (también llamada
dilatación, contracción, compresión, alargamiento o
reescala), entonces las figuras son
similares:
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¡Estas figuras son similares! |
También puede haber giros, volteos o desplazamientos
A veces es difícil ver si dos figuras son similares, porque a lo
mejor tienes que girar, voltear o desplazar una de ellas además de la
homotecia.
Ejemplos
Todas estas figuras son similares:
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| Homotecia |
Homotecia y reflexión |
Homotecia y rotación |
¿Para qué sirve?
Cuando dos figuras son similares:
- los ángulos correspondientes son iguales, y
- las longitudes son proporcionales.
Esto ayuda mucho cuando resolvemos puzzles geométricos, como en este ejemplo:
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Ejemplo: ¿cuánto mide ese lado?
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Fíjate en que el triángulo rojo tiene los mismos ángulos que el triángulo grande...
... los dos tienen un ángulo recto, y comparten el ángulo de la izquierda
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De hecho podrías voltear el triángulo rojo, girarlo un poco,
cambiarlo de tamaño, y coincidiría exactamente con el triángulo grande.
Así que son triángulos similares.
Entonces las longitudes de los lados son proporcionales, y podemos calcular:
? = 80 × (130/127) = 81.9
(¡Nada complicado, sólo sentido común!)
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¿Congruentes o similares?
Si no necesitas cambiar el tamaño para hacer que dos figuras coincidan, entonces son
congruentes. Así que si las figuras coinciden:
| Después de... |
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Entonces son... |
| ... sólo girar, reflejar y/o trasladar |
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Congruentes
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| ... también reescalar |
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Similares
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Triángulos
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Un triángulo tiene tres lados y tres ángulos
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Los tres ángulos siempre suman 180°
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Equilátero, isósceles y escaleno
Hay tres nombres especiales de triángulos que indican cuántos lados (o ángulos) son iguales.
Puede haber
3,
2 o
ningún lados/ángulos iguales:
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Triángulo equilátero
Tres lados iguales
Tres ángulos iguales, todos 60° |
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Triángulo isósceles
Dos lados iguales
Dos ángulos iguales |
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Triángulo escaleno
No hay lados iguales
No hay ángulos iguales |
¿Qué tipos de ángulos?
Los triángulos también tienen nombres que te dicen los
tipos de ángulos
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Triángulo acutángulo
Todos los ángulos miden menos de 90° |
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Triángulo rectángulo
Tiene un ángulo recto (90°) |
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Triángulo obtusángulo
Tiene un ángulo mayor que 90° |
Combinar los nombres
A veces los triángulos tienen dos nombres, por ejemplo:
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Triángulo isósceles rectángulo
Tiene un ángulo recto (90°), y los otros dos ángulos iguales
¿Adivinas cuánto miden? |
Área
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Área = ½bh
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La fórmula (1/2)bh vale para todos los triángulos. Asegúrate de que la "h" la mides perpendicularmente a la "b".
Imagina que "doblas" el triángulo (volteándolo a lo largo de uno
de los lados de arriba) para tener una figura de cuatro lados (que será
en realidad un "paralelogramo"), entonces el área sería bh. Pero eso
son dos triángulos, así que uno solo es (1/2)bh.
Transversales
una transversal es una línea que cruza por lo menos otras dos líneas.
La línea roja es transversal en todos estos ejemplos:
Usando Instrumentos de Dibujo (Regla, Triángulo, Compás)
y 
